动态规划

动态规划基础

动态规划的特点

• 最优子结构
• 重叠子问题
• 状态转移方程

解题步骤

1. 定义状态
2. 找状态转移方程
3. 初始化
4. 确定遍历顺序
5. 返回结果

经典题目

爬楼梯（LeetCode 70）

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;

    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

打家劫舍（LeetCode 198）

public int rob(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) return 0;
    if (nums.length == 1) return nums[0];

    int[] dp = new int[nums.length];
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);

    for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
    }
    return dp[nums.length - 1];
}

最长递增子序列（LeetCode 300）

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp, 1);
    int maxLen = 1;

    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);
    }
    return maxLen;
}

最长公共子序列（LeetCode 1143）

public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int m = text1.length(), n = text2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

0-1背包问题

public int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {
    int n = weights.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= capacity; j++) {
            if (weights[i - 1] <= j) {
                dp[i][j] = Math.max(
                    dp[i - 1][j],
                    dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]
                );
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[n][capacity];
}

编辑距离（LeetCode 72）

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length(), n = word2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

    for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
    for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(
                    Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]),
                    dp[i - 1][j - 1]
                ) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

练习题

1. 零钱兑换（LeetCode 322）
2. 最大子数组和（LeetCode 53）
3. 买卖股票的最佳时机（LeetCode 121）
4. 分割等和子集（LeetCode 416）
5. 不同路径（LeetCode 62）